Question

对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x）且a＞0则e^a•f（0）与f（a）的大小关系为：e^a•f（0）

＜

f（a）（用≤，≥，＜，＞之一填空）．

Answer 1

分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）-f（x）＞0，而由e^-x[f′（x）-f（x）]＞0可判断函数e^-xf（x）是单调递增函数，结合a＞0可求．

解答：解：∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）-f（x）＞0，
又∵e^-x＞0，∴e^-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e^-xf′（x）-e^-xf（x）＞0
而[e^-xf（x）]′=（e^-x）′f（x）+e^-xf′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）＞0
∴函数F（x）=e^-xf（x）是单调递增函数，又∵a＞0
所以F（a）＞F（0），即e^-af（a）＞e^-0f（0）=f（0）
变形可得：e^af（0）＜f（a），
故答案为：＜

点评：本题考查导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，观察和利用e^-xf（x）的导函数的形式是解决问题的关键，属基础题．