Question

20．f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）
（1）若f（x+θ）是周期为2π的偶函数．求ω及θ值；
（2）在（1）的条件下求函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件求得f（x+θ）的解析式，再利用正弦函数周期性和奇偶性，求得ω及θ值．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）得值域．

解答 解：（1）由于f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），
可得f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
再根据f（x+θ）是周期为2π的偶函数，可得$\frac{2π}{3ω}$=2π，3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
求得ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，可得x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$，当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2$\sqrt{3}$，
故函数f（x）得值域为[-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查正弦函数周期性和奇偶性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．