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点M在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2成立,求实数a的取值范围.
分析:(I)根据正三角形的性质可求得圆的半径,及M到y轴的距离,进而根据圆M与x轴相切求得,r=
b2
a
.求得a和b的关系式,进而根据c=
3
求得a和b,则椭圆的方程可得.
(II)先看当直线与x轴垂直时,把x=1代入椭圆方程求得yA的表达式,进而根据|OC|2+|OD|2<|CD|2恒成立求得a的范围;再看l不垂直于x轴时,设C(x1,y1),D(x2,y2)及直线方程,把直线方程代入椭圆方程消去y,根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式,根据|OC|2+|OD|2<|CD|2恒成立,看当当a2-a2b2+b2>0对k∈R不是恒成立的.当a2-a2b2+b2=0时,a=
1+
5
2
,恒成立.当a2-a2b2+b2<0时恒成立,进而推断出a2<(a2-1)b2=b4,求得a的范围.最后综合可得答案.
解答:解:(I)∵△ABM是边长为2的正三角形,∴圆的半径r=2,
∴M到y轴的距离d=
3

又圆M与x轴相切,∴当x=c时,得y2=
b4
a2
,∴r=
b2
a

b2
a
=2,c=
3
∵a2-b2=c2
∴a2-3=2a,解得a=3或a=-1(舍去),则b2=2a=6.
故所求椭圆方程为
x2
9
+
y2
6
=1

(II)①当直线l垂直于x轴时,把x=1代入,得
y
2
A
=
b2(a2-1)
a2

∵恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,∴2(1+
y
2
A
)<4
y
2
A
y
2
A
>1,即
a2-1
a
>1

解得a>
1+
5
2
a<
1-
5
2
(舍去),即a>
1+
5
2

②当l不垂直x轴时,设C(x1,y1),D(x2,y2),
直线AB的方程为y=k(x-1),代入
x2
a2
+
y2
b2
=1

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,
x1+x2=
2a2bk2
b2+a2k2
x1x2=
a2k2-a2b2
b2+a2k2

∵恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,∴x12+y12+x22+y22<(x2-x12+(y2-y12,|OC|2+|OD|2<|CD|2恒成立,得x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=
(a2-a2b2+b2)k2-a2b2
b2+a2k2

由题意得,(a2-a2b2+b2)k2-a2b2<0对k∈R恒成立.
当a2-a2b2+b2>0对k∈R不是恒成立的.
a2-a2b2+b2=0时,a=
1+
5
2
,恒成立.
当a2-a2b2+b2<0时恒成立,∴a2<a2b-b2,即a2<(a2-1)b2=b4
∵a>0,b>0,
∴a<b2,即a<a2-1,
∴a2-a-1>0,解得a>
1+
5
2
a<
1-
5
2
,即a>
1+
5
2

综上,a的取值范围是[
1+
5
2
,+∞)
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容,平时应加强训练.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点M在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(1)若圆M与y轴相切,求椭圆的离心率;
(2)若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的两个焦点分别为F1、F2,点M在椭圆C上,若存在
F1M
F2M
=0
,则椭圆C的离心率的取值范围是(  )
A、
1
2
  ,  1 )
B、
1
2
  ,  1 )
C、
2
2
  ,  1 )
D、
2
2
  ,  1 )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,点P在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过点P作椭圆右准线的垂线,垂足为M,若四边形PF1F2M为菱形,则椭圆的离心率是
5
-1
2
5
-1
2

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科目:高中数学 来源:临沂一模 题型:解答题

点M在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2成立,求实数a的取值范围.

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