如图所示,A、F分别是椭圆=1的一个顶点与一个焦点,位于x轴的正半轴上的动点T(t,0)与F的连线交射影OA于Q.求:
(1)点A、F的坐标及直线TQ的方程;
(2)△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f(t)及其函数的最小值;
(3)写出S=f(t)的单调递增区间,并证明之.
解:(1)A点的坐标为(1,3),F点的坐标为(1,1) 当t>0且t≠1时,TQ的方程为y=; 当t=1时,TQ的方程为x=1. (2)联立直线OA和直线TQ的方程; 或 得Q点的纵坐标为yQ=,yQ=3, ∵t>0,且yQ>1,∴t>, ∴f(t)= ∴f(t)=, ∵t>,∴3t-2>0,∴f(t)≥(2+4)=, 当且仅当t=时等号成立,即t=时,S=f(t)的最小值为. (3)f(t)=在区间(,+∞)上为增函数. 证明:任取t1、t2∈(,+∞),不妨设t2>t1>. f(t1)-f(t2)=(3t1-2++4)-(3t2-2++4) =(t1-t2)[1-] =(t1-t2) ∵t2>t1>,∴t1-t2<0,(3t1-2)(3t2-2)>4,∴f(t1)<f(t2). ∴S=f(t)在(,+∞)上为增函数. |
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π |
3 |
π |
2 |
2π |
3 |
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省南昌十六中高三(上)11月月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题
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