分析 (1)推导出SA⊥BC,AB⊥BC,从而BC⊥AE,再由AE⊥SC,能证明DE⊥SC.
(2)以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,过B作AS的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成角的余弦值.
解答 证明:(1)∵SA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴SA⊥BC,
∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,AB∩SA=A,
∴BC⊥平面SAB.
∵AE?平面SAB,∴BC⊥AE.
∵AE⊥SB,SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC,
∵SC?平面SBC,∴AE⊥SC,
又∵AD⊥SC,AD∩AE=A,
∴SC⊥平面ADE,DE?平面SBC,
∴DE⊥SC.
解:(2)以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,过B作AS的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,
A(1,0,0),S(1,0,1),C(0,1,0),
设D(a,b,c),$\overrightarrow{SD}=λ\overrightarrow{SC}$,则(a-1,b,c-1)=(-λ,λ,-λ),∴D(1-λ,λ,1-λ),
∴$\overrightarrow{SC}$=(-1,1,-1),$\overrightarrow{AD}$=(-λ,λ,1-λ),
∵点A在SC上的射影D,∴$\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{AD}$=λ+λ-1+λ=0,解得$λ=\frac{1}{3}$,
∴D($\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$),$\overrightarrow{AD}$=(-$\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}$),
设直线AD与平面ABC所成角为θ,平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=(0,0,1),
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{2}{3}|}{1×\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴cosθ=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴直线AD与平面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{13}}{4}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D. | -$\frac{\sqrt{13}}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
分组 | 频数 | 频率 |
[0,0.5) | 4 | 0.10 |
[0.5,1) | m | p |
[1,1.5) | 10 | n |
[1.5,2) | 6 | 0.15 |
[2,2.5) | 4 | 0.10 |
[2.5,3) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
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A. | 9π | B. | 8π | C. | $\frac{23}{3}π$ | D. | $\frac{28}{3}π$ |
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