Question

16．数列{a_n}，{b_n}中，a₁=-4，b₁=1，a_n+1=2a_n+b_n（n∈N^*），且数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差数列．
（1）求{b_n}的前n项T_n
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求使S_n最小的n的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+b_n可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$，从而可知$\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$是个常数，从而解得；
（2）由（1）知$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{4}$，从而化简可得${a_n}=（n-9）•{2^{n-2}}$，从而确定通项的正负，从而解得．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+b_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$，
∵$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差数列，
∴$\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$是一个常数，设为c，
又∵b₁=1，
∴$c=\frac{b_1}{2^2}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{1}{4}$，
即${b_n}={2^{n-1}}$，
∴${T_n}={2^n}-1$．
（2）由（1）知，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{4}$，
且$\frac{a_1}{2}=-2$，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1}{4}$（n-1）=$\frac{n-9}{4}$，
∴${a_n}=（n-9）•{2^{n-2}}$，
易知当1≤n＜9时，a_n＜0且a₉=0，
当n＞9时，a_n＞0；
∴使S_n最小的n的值为8或9．

点评 本题考查了数列的化简与运算，同时考查了转化的思想应用．