Question

已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，当y₁y₂=-16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．由此能得到所求的轨迹方程．
（2）假设存在A，B在y²=4x上，所以，直线AB的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，令y=0，得x=4，所以，无论y₁，y₂为何值，直线AB过定点（4，0）．

解答：解：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．
所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且

p

2

=1，p=2，
所以所求的轨迹方程为y²=4x（5分）
（2）假设存在A，B在y²=4x上，
所以，直线AB的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，即y-y1=

y2-y1

y22 4 - y12 4

(x-

y12

4

)（7分）
即AB的方程为：y-y1=

4

y1+y2

(x-

y12

4

)，即（y₁+y₂）y-y₁²-y₁y₂=4x-y₁²
即：（y₁+y₂）y+（16-4x）=0，（10分）
令y=0，得x=4，
所以，无论y₁，y₂为何值，直线AB过定点（4，0）（12分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．