Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+1．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）求f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程．

Answer 1

【答案】（1）递减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；（2）15x+y+27=0．

【解析】试题分析：求函数的单调区间只需对函数求导，解不等式 ，得出增区间，得出减区间，求函数在某点处的切线方程，利用导数的几何意义，求函数在该点处的导数值即为切线的斜率，利用点斜式写出切线方程.

试题解析：（1）函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+1的导数为

f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，或x＞3，

可得函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；

（2）f′（x）=﹣3x2+6x+9，

可得f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率为

k=﹣3×4﹣12+9=﹣15，切点为（﹣2，3），

即有f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y﹣3=﹣15（x+2），

即为15x+y+27=0．