Question

（2012•黄浦区二模）某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用an(n∈N*)表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式a_n；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项的和，Tn=

Sn

n

．企业经过成本核算，若T_n＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{b_n}是单调递减数列，则数列{

b1+b2+…+bn

n

}也是单调递减数列）．

Answer 1

分析：（1）依据题意，知a₁，a₂，…，a₆构成首项为a₁=250，公差d=-30的等差数列，a7，a8，…，an(n≥7，n∈N*)构成首项为a7=

1

2

a6=50，公比q=

1

2

的等比数列，从而可得数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）由（1）知，{a_n}是单调递减数列，于是，数列{T_n}也是单调递减数列，先判断T_n＞100（1≤n≤6），再判断当n=11时，T₁₁＞104（万元）；当n=12时，T₁₂＜96（万元），从而可得结论．

解答：解：（1）依据题意，知a₁，a₂，…，a₆构成首项为a₁=250，公差d=-30的等差数列．
故an=280-30n(n∈N*，n≤6)（万元）．     　　　　　　　　　　　　　　　　 （3分）
a7，a8，…，an(n≥7，n∈N*)构成首项为a7=

1

2

a6=50，公比q=

1

2

的等比数列．
因此，an=50•(

1

2

)n-7(n≥7，n∈N*)（万元）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
于是，an=

280-30n(1≤n≤6) 50•( 1 2 )n-7(n≥7)

(n∈N*)（万元）．　　　　　　　　　　　　　　（7分）
（2）由（1）知，{a_n}是单调递减数列，于是，数列{T_n}也是单调递减数列．
∵S6=

(a1+a6)•6

2

=1050（万元），T6=

S6

6

=175＞100（万元），
∴T_n＞100（1≤n≤6）．
∴当n≥7时，Tn=

Sn

n

=

1

n

(a1+a2+…+a6+a7+…+an)
=

1

n

(1050+

50(1-( 1 2 )n-6)

1- 1 2

)=

1150- 100 2n-6

n

（万元）．　　　　　　　　　　　　　　   　　　（9分）
当n=11时，T₁₁＞104（万元）；当n=12时，T₁₂＜96（万元）．　　　    　　　　　（13分）
∴当n≥12，n∈N^*时，恒有T_n＜96．
∴该企业需要在第11年年初更换A型车床．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．