Question

（2007•武汉模拟）如果直线l 过定点M（1，2）且与抛物线y=2x²有且仅有一个公共点，那么直线l的方程为

x=1 或y=4x-2

．

Answer 1

分析：先判断M点的位置，代入抛物线方程成立，可知点M在抛物线上，若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物相切，或平行于抛物线的对称轴，分别求出直线方程即可．当直线与抛物线相切时，直线的斜率必为抛物线在切点处的导数，应用导数求出斜率，再代入直线的点斜式方程即可．

解答：解：把点M（1，2）代入y=2x²成立，∴点M在抛物线上，
∵直线l 过定点M（1，2）且与抛物线y=2x²有且仅有一个公共点，
∴直线可能平行于抛物线的对称轴，也可能与抛物线相切
当直线平行于抛物线的对称轴时，方程为x=1，
当直线与抛物线相切时，对y=2x²求导，得，y′=4x，∴k_切=4
∴切线方程为y-2=4（x-1）
即y=4x-2
故答案为：x=1 或y=4x-2

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判断，以及利用导数求抛物线的切线斜率，做题时不要丢掉直线与抛物线的对称轴平行的情况．