Question

一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P点的位置
（Ⅲ）AE为何值时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）三视图复原几何体是一条侧棱垂直于底面的三棱锥，结合三视图的数据直接求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，通过

BE

•

C1E

=0与

BE

•

B1E

=0，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，A₁E=PC时，有AD₁∥BC₁使得平面BC₁E∥平面PAD₁；
（Ⅲ）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，设E（1，0，m），求出平面C-ED₁-D的法向量

n

=（2-m，2，1），

D

C=（0，1，0），利用二面角C-ED₁-D的大小为45°求出m值．

解答：解：（Ⅰ）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
如图所示的三棱锥D₁-ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD₁=2，故所求的体积是V=

1

3

×12×2×

1

2

=

1

3

；
（Ⅱ）（1）当E点为AA₁的中点时，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，则B（1，1，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），E（1，0，1）

BE

=(0，-1，1)，

B1E

=(0，-1，-1)，

C1E

=(-1，1，1)

BE

•

B1E

=0，

BE

•

C1E

=0
所以BE⊥B₁E且BE⊥C₁E，所以BE⊥平面B₁C₁E．
（2）可知当A₁E=PC时，有AD₁∥BC₁，BE∥PD₁所以平面BC₁E∥平面PAD₁
注：也可以求两个平面的法向量，说明两个法向量共线即可．
（Ⅲ）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图
设E（1，0，m）则D（0，0，0），C（0，1，0）D₁（0，0，2）

C

E=（1，-1，m），

CD1

=（0，-1，2）
设向量

n

=（x，y，z）满足

n

⊥

CE

，

n

⊥

CD1

于是

x-y+mz=0 -y+2z=0

解得

x=(2-m)z y=2z

取z=1得

n

=（2-m，2，1）
又

D

C=（0，1，0）
即

(2-m，2，1)•(0，1，0)

(2-m)2+22+12 • 02+12+02

=

2

2

解得m=2±

3

因为m＜2所以m=2-

3

即AE=2-

3

时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．

点评：本题是中档题，考查三视图的知识，三视图还原几何体，直线与平面平行与垂直的证明，二面角的求法，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．