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6.已知f(x)=ax-$\frac{a}{x}$-10lnx,h(x)=-x2+(m-2)x+6.
(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域上是增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=4时,对于任意x1,x2∈(0,1),均有h(x1)≥f(x2)恒成立,试求参数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,问题转化为a≥$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$,而$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$≤5,从而求出a的范围即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,根据h(x1)≥f(x2)恒成立,满足h(x)min≥f(x)max,得到故m的不等式组,解出即可.

解答 解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=$\frac{{ax}^{2}-10x+a}{{x}^{2}}$,
对于任意(0,+∞)上,满足f′(x)≥0,即ax2-10x+a≥0,a≥$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$,
而$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$≤5,当且仅当x=1时,取最大值5,所以a≥5.
(Ⅱ)f(x)=4x-$\frac{4}{x}$-10lnx,
f′(x)=$\frac{2(2x-1)(x-2)}{{x}^{2}}$,
令f′(x)=0,可得x1=$\frac{1}{2}$或x2=2,
所以函数f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)单调递增,在($\frac{1}{2}$,1)单调递减,
所以f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=-6+10ln2,
h(x1)≥f(x2)恒成立,满足h(x)min≥f(x)max
即$\left\{\begin{array}{l}{h(0){≥f(x)}_{max}}\\{h(1){≥f(x)}_{max}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{6≥-6+10ln2}\\{-1+m-2+6≥-6+10ln2}\end{array}\right.$⇒m≥-9+10ln2,
所以m的取值范围是[-9+10ln2,+∞).

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.

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