Question

8．如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥DC，PD⊥AD，由此能证明PD⊥平面ABCD．
（2）推导出PD⊥AC．AC⊥BD．从而AC⊥平面PDB，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．

解答 证明：（1）因为PD=a，DC=a，PC=$\sqrt{2}$a，
所以PC²=PD²+DC²，所以PD⊥DC，
同理可证PD⊥AD，
又AD∩DC=D，所以PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC．
而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
又BD∪PD=D，
所以AC⊥平面PDB．
因为AC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．