Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，，且，，，，为上一点，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线和所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）

【解析】

（1）要证明DE∥平面PAB，只需证DE与平面PAB内的一条直线平行即可．（2）由（1）知DE∥AP．则异面直线AB和DE所成角即AB和AP所成的角，由余弦定理计算即可．

（1）证明：∵AD=1，CD=2，

∴在中，∴DE∥AP．

∵AP平面PAB，DE平面PAB，

∴DE∥平面PAB；

（2）解：由（1）知DE∥AP．则异面直线AB和DE所成角即AB和AP所成的角．∵PD⊥AC，AD=1，PD=2，在中，AP2=AD2+PD2=12+22=5．

∵BD⊥AC，AD=1，BD=1，在中，AB2=AD2+BD2=12+12=2．

∵PD⊥BD，PD=2，在中，PB2=PD2+BD2=22+12=5．

在中，cos∠PAB= ,

∴异面直线和所成角的余弦值为.