Question

1．如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB=∠OAC=$\frac{π}{6}$，AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$，D，E分别为AB，OB的中点．
（1）求证：CO⊥平面AOB；
（2）在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证平面COD⊥平面AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD内一直线与平面AOB垂直，根据勾股定理可知OC⊥OB，根据线面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，
（2）取CB的中点F，连接DF，EF，则DF∥AC，DE∥AO，从而可得平面DEF∥平面AOC．

解答 （1）证明：∵AO⊥底面BOC，
∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=2，
∴OC=OB=1．
∵BC=$\sqrt{2}$，由勾股定理得OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB．
（2）存在CB的中点F满足题意，
证明：取CB的中点F，连接DF，EF，则由于D，E分别为AB，OB的中点，有DF∥AC，DE∥AO，
∵DF∩DE=D，AC∩AO=A，DF，DE?平面DEF，AO，AC?平面AOC，
∴平面DEF∥平面AOC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．