Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）试判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当直线l与圆C相交时，求直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．

Answer 1

分析：（1）将直线l方程整理后，根据m的任意性，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，确定出直线恒过定点的坐标；
（2）由（1）确定的定点坐标，利用两点间的距离公式求出定点与圆心的距离d，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系；
（3）当直线l过圆心C时，被截得弦长最长，此时弦长等于圆的直径，当直线l和圆心与定点连线CD垂直时，弦长最短，利用垂径定理及勾股定理求出最短弦长，由C与D的坐标求出直线CD的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线l的斜率，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，以及此时直线l的方程．

解答：（1）证明：∵将直线l的方程整理得：（2x+y-7）m+x+y-4=0，
由于m的任意性，∴

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得：

x=3 y=1

，
∴直线l恒过定点（3，1）；
（2）∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴（3，1）在圆内，
∴直线恒经过圆内一定点D，
∴直线与圆相交；
（3）当直线l过圆心C时，被截得弦长最长，此时弦长等于圆的直径，
当直线l和圆心与定点连线CD垂直时，弦长最短，
最短弦长为d=2

r2-5

=4

5

，
此时直线的斜率为k_CD=

1-2

3-1

=-

1

2

，
∴-

2m+1

m+1

=2，解得：m=-

3

4

，
此时直线l的方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r来判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．