Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=-4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0.f′(x)=

2(x+2)(x-1)

x

，由此能求出f（x）的极小值．
（2）由f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），知f′(x)=

2x2+2x+a

x

，设g（x）=2x²+2x+a，由函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=4时，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0
f′(x)=

2(x+2)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=-2（舍），或x=1，
列表，得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴f（x）的极小值f（1）=1+2-4ln1=3，
∵f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0只有一个极小值，
∴当x=1时，函数f（x）取最小值3．
（2）∵f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），
∴f′(x)=

2x2+2x+a

x

，（x＞0），
设g（x）=2x²+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．