Question

函数f（x）=－x³+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？证明你的结论.?

Answer 1

解:f（x）在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：?

设x₁、x₂∈（－∞，+∞），?

x₁＜x₂ ，则f（x₁）=－x₁³+1，f（x₂）=－x₂³+1.?

f（x₁）－f（x₂）=x₂³－x₁³

=（x₂－x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）

=（x₂－x₁）［（x₁+）²+x₂²］.?

∵x₁＜x₂，∴x₂－x₁＞0.?

而（x₁+）²+x₂²＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）.?

∴函数f（x）=－x³+1在（－∞，+∞）上是减函数.?

点评:在利用定义判断函数单调性的过程中,f（x₁）－f（x₂）的符号必须恒大于0或小于0，不能大于等于0或小于等于0.