Question

【题目】某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．
（Ⅰ）求进入决赛的人数；
（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，

∴总人数为 （人）．

∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）

即进入决赛的人数为36．

（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为 ，

∴X～ ， ，

P（X=1）= ，

．

∴所求分布列为：

X	0	1	2
P

，两人中进入决赛的人数的数学期望为 ．

（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，

则基本事件满足的区域为： ，

事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．

∴由几何概型P（A）= = ．

即甲比乙远的概率为 ．

【解析】（Ⅰ）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．

（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为 ，从而X～ ，由此能求出X的分布列及数学期望．

（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为： ，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用频率分布直方图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．