Question

已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析：（1）设Q（x，y），根据Q是OP中点，可得P（2x，2y），利用点P在抛物线y²=4x上，即可得到点Q的轨迹方程；
（2）设出直线AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0，利用韦达定理，可计算弦长|AB|．

解答：解：（1）设Q（x，y），∵Q是OP中点，∴P（2x，2y）
又∵点P在抛物线y²=4x上
∴（2y）²=4×2x，即y²=2x为点Q的轨迹方程
（2）∵F（1，0），kAB=

3

，∴直线AB的方程为：y=

3

(x-1)
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0
∴x1+x2=

8

3

，x1x2=1
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 7

3

点评：本题考查求轨迹方程，考查弦长的计算，解题的关键是掌握代入法求轨迹方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解．