Question

设F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且原点O到直线PF₁的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、4x±3y=0
• B、3x±5y=0
• C、3x±4y=0
• D、5x±3y=0

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出双曲线的渐近线方程．

解答： 解：依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影是其中点，
由勾股定理可知|PF₁|=4b
根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得

b

a

=

4

3

，
∴双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x，即4x±3y=0．
故选：A．

点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．