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设F1,F2分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实半轴长,则该双曲线的渐近线方程为(  )
A、4x±3y=0
B、3x±5y=0
C、3x±4y=0
D、5x±3y=0
考点:双曲线的简单性质
专题:计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a与b之间的等量关系,进而求出双曲线的渐近线方程.
解答: 解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,
由勾股定理可知|PF1|=4b
根据双曲定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,
代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0,求得
b
a
=
4
3

∴双曲线的渐近线方程为y=±
4
3
x,即4x±3y=0.
故选:A.
点评:本题主要考查三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查,属中档题.
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已知函数f(x)=ax3-x2+bx(a,b∈R,f′(x)为其导函数,且x=3时f(x)有极小值-9
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若不等式f′(x)>k(xlnx-1)-6x-4(k为正整数)对任意正实数x恒成立,求k的最大值.(解答过程可参考使用以下数据:ln7≈1.95,ln8≈2.08)

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如图,PO⊥平面ABCD,点O在AB上,EA∥PO,四边形ABCD为直角梯形,且AB∥CD,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=
1
2
CD

(1)求证:PE⊥平面PBC;
(2)求证:平面EDO∥平面PBC.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2分别是双曲线x2-
y2
b2
=1的左右焦点,A是双曲线在第一象限内的点,若|AF2|=4且∠F1AF2=60°,延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

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①f(x)的单调递减区间是(1,3);
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③a=-6,b=9.正确的结论是(  )
A、①③B、①②C、②③D、①②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的各项均为正整数,且满足an+1=an2-2nan+2(n∈N+),又a5=11.
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(2)设bn=11-an,Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|,求Sn

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科目:高中数学 来源: 题型:

过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点P,则有
|PA|
|AF|
+
|PB|
|BF|
为定值
2ac
b2
,类比双曲线这一结论,在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>c)中,
|PA|
|AF|
+
|PB|
|BF|
也为定值,则这个定值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx-
a
x
+1.
(1)若a=-
e
时,求f(x)在[1,e]上的最小值;
(2)若f(x)<x2+1在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

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