Question

20．在△ABC中，c=2$\sqrt{2}$，tanA=3，tanB=2，则△ABC的面积为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 由和差角公式可得C值，可得sinC，进而由正弦定理可得a和sinB，由三角形的面积公式可得．

解答 解：由题意可得tanC=-tan（A+B）
=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{3+2}{1-3×2}$=1，
∴C=$\frac{π}{4}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=3，sin²A+cos²A=1，
∴联立解得sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
同理可得sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{10}}{5}×2\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{24}{5}$
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查解三角形，涉及同角三角函数基本关系和正弦定理以及三角形的面积公式，属中档题．