Question

医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：

（1）求出这个样本的合格率、优秀率；
（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．
    ①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；
    ②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）根据合格率、优秀率的意义即可得出；
（2）利用分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望即可得出．

解答：解：（1）解：各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
∴这个样本的合格率为1-0.2=0.8，
优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3．
（2）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中，各组人数依次为4，6，4，3，2，1．
从20名医生中随机选出2名的方法数为

C

2 20

=190，
选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为

C

2 4

+

C

2 6

+

C

2 4

+

C

2 3

+

C

2 2

=31．
故这2名医生的能力参数K为同一组的概率P=

31

190

．
②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人．
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)=

C 2 14

C 2 20

=

91

190

，P(X=1)=

C 1 14 C 1 6

C 2 20

=

42

95

，P(X=2)=

C 2 6

C 2 20

=

3

38

．
∴X的分布列为

X	0	1	2
P	91 190	42 95	3 38

∴X的期望值EX=0×

91

190

+1×

42

95

+2×

3

38

=

3

5

．

点评：熟练掌握合格率、优秀率的意义、分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望是解题的关键．