Question

（本题满分12分）
已知函数（）．
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）当函数在单调时，求的取值范围；
（3）求函数既有极大值又有极小值的充要条件。

Answer 1

（1）函数在最大值是，函数在上的最小值为。
（2）的取值范围是。
（3）函数既有极大值又有极小值的充要条件。

（1）时，，
函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在最大值是，
又，故，
故函数在上的最小值为。   ……………4分
（2），令，则，
则函数在递减，在递增，由，，
，故函数在的值域为。
若在恒成立，即在恒成立，
只要，若要在在恒成立，即在恒成立，
只要。即的取值范围是。 ……………8分
（3）若既有极大值又有极小值，则首先必须有两个不同正根，
即 有两个不同正根。
故应满足，
∴当时，有两个不等的正根，不妨设，
由知：时，时，时，
∴当时既有极大值又有极小值．
反之，当时，有两个不相等的正根，
故函数既有极大值又有极小值的充要条件。  ……………12分