Question

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对于任意正整数n，有，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别令x₁=x₂=0，x₁=1，x₂=0，f（x）=f（1），又因为f（x）为单调函数，从而可求x的值；
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（n）=2n-1．故可求a_n进而可有 ，从而可求通项，故可证；
 （3）构造函数F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，证明n≥2时，为单调减函数，从而可求x的取值范围．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0⇒f（x）=-f（0）．又令x₁=1，x₂=0，f（1）=-f（0）．
∴f（x）=f（1），由函数f（x）单调性知，x=1．
（2）由（1）知，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1，
由x₁，x₂的任意性，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，
∴f（n）=2n-1．（n∈N^*）．
∴．
又∵．
又∵，
∴．
∴．
由数列求和方法知：，．∴．
∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n≥3n+1＞2n+1，∴．
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n⇒F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=（通分易证）∴当n≥2时，．
∴．
解此不等式，所以x的取值范围为．
点评：本题以新定义为载体，考查抽象函数，考查赋值法，同时考查构造函数，利用函数的单调性解决恒成立问题．