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11.已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1(a>1)$,离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.直线l:x=my+1与x轴交于点A,与椭圆C相交于E,F两点.自点E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1
(Ⅰ)求椭圆C的方程及焦点坐标;
(Ⅱ)记△AEE1,△AE1F1,△AFF1的面积分别为S1,S2,S3,试证明$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}$为定值.

分析 (Ⅰ)由b=1,椭圆的离心率公式即可求得a的值,求得椭圆方程及焦点坐标;
(Ⅰ)将直线方程代入椭圆方程,由韦达定理及三角形的面积公式,求得S1S3及S32,即可证明$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}$为定值.

解答 解:(Ⅰ)由题意可知b=1,椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,即$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}=\frac{2}{3}$.
解得:a2=3.即$a=\sqrt{3}$.
∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{2}$.
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$,焦点坐标为$(±\sqrt{2},0)$.…(4分)
(Ⅱ)由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$,整理得(m2+3)y2+2my-2=0,显然m∈R,
设E(x1,y1),F(x2,y2),则${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+3}},{y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$,E1(3,y1),F1(3,y2),
∵${S_1}{S_3}=\frac{1}{2}(3-{x_1})|{y_1}|•\frac{1}{2}(3-{x_2})|{y_2}|$=$\frac{1}{4}(2-m{y_1})(2-m{y_2})|{{y_1}{y_2}}|$=$\frac{1}{4}[4-2m({y_1}+{y_2})+{m^2}{y_1}{y_2}]|{{y_1}{y_2}}|$=$\frac{1}{4}(4-2m•\frac{-2m}{{{m^2}+3}}+{m^2}•\frac{-2}{{{m^2}+3}})|{\frac{-2}{{{m^2}+3}}}|$=$\frac{{3({m^2}+2)}}{{{{({m^2}+3)}^2}}}$,
又∵${S_2}^2={[\frac{1}{2}×2|{{y_1}-{y_2}}|]^2}$=${({y_1}+{y_2})^2}-4{y_1}{y_2}$,
=$\frac{4{m}^{2}}{({m}^{2}+3)^{2}}$+$\frac{8}{{m}^{2}+3}$,
=$\frac{4{m}^{2}+8{m}^{2}+24}{({m}^{2}+3)^{2}}$=$\frac{12{m}^{2}+24}{({m}^{2}+3)^{2}}$.
∴$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}=\frac{{\frac{{3({m^2}+2)}}{{{{({m^2}+3)}^2}}}}}{{\frac{{12({m^2}+2)}}{{{{({m^2}+3)}^2}}}}}=\frac{1}{4}$.…(14分)

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦长公式,考查计算能力,属于中档题.

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