Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=PC=1，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB，点E为PA的中点．
（1）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（2）求二面角C-BE-A 的大小．

Answer 1

分析：（1）求异面直线的夹角问题一般是平移直线或作异面直线的平行线，使之相交了放入某个三角形中求角即可．
（2）求二面角一般是先由其中一个平面内的点作另一个平面的垂线，作出二面角，接着证明此角既是二面角，最后求出角即可，即作角、证角、求角的过程．

解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB，
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，
∴AB⊥平面PCB过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF、FC，
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．
由题意可得AB⊥BC，∴CF⊥AF，
由三垂线定理，得PF⊥AF，则AF=CF=1，PF=

2

．
在Rt△PFA中，cos∠PAF=

AF

AP

=

1

3

=

3

3

，
∴异面直线PA与BC所成的角为arccos

3

3

．
（2）在△BCE中过点C作CG⊥BE，垂足为G，连接FA，
∵△CBE≌△ABE，
∴AG⊥BE，∴∠CGA为二面角C-BE-A的平面角，
在△CEB中BC=1，CE=BE=

3

2

，由面积相等得CG=

6

3

，同理AG=

6

3

，
在△CGA中，由余弦定理得，cos∠CGA=

CG2+AG2-AC2

2CG2

=-

1

2

，
所以二面角C-BE-A为120°．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，把空间几何问题逐步转化为平面问题，一般是利用解三角形的一个知识解决问题．