【题目】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数,若在上存在极值,求的取值范围,并判断极值的正负.
【答案】(1)见解析;(2)当时,在上存在极值,且极值都为正数
【解析】分析:(1)先求导,再对a分类讨论得到函数的单调性.(2)先求导,
再构造函数研究函数在上的极值情况,求的取值范围,并判断极值的正负.
详解:(1)定义域为,,
①当时,在上恒成立,所以在上单调递增;
②当时,令,得,
∴当时,,单调递减,
当时,,单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在单调递减,在上单调递增.
(2),,
∴,
设,则,
由,得,
当时,;当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
且,,,
显然,
结合图象可知,若在上存在极值,则
解得.
①当即时,
则必定,,使得,且,
当变化时,,,的变化情况如表:
极小值 | 极大值 |
∴当时,在上的极值为,,且,
∵,
设,其中,.
∵,∴在上单调递增,,当且仅当时取等号.
∵,∴,
∴当时,在上的极值.
②当即时,
则必定,使得,
易知在上单调递增,在上单调递减,
此时,在上的极大值是,且,
∴当时,在上存在极值,且极值都为正数,
综上所述,当时,在上存在极值,且极值都为正数.
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【题目】如果一个三位数的各位数字互不相同,且各数字之和等于10,则称此三位数为“十全十美三位数”(如235),任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况,某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按,,,,分成五组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为类学生,低于60分的称为类学生.
(1)根据已知条件完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为类学生有关系?
类 | 类 | 合计 | |
男 | 110 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中类学生的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、期望和方差.
参考公式:,其中.
参考临界值:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】5名男生4名女生站成一排,求满足下列条件的排法:
(1)女生都不相邻有多少种排法?
(2)男生甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序),有多少种排法?
(3)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?
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【题目】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元,每生产千件需另投入万元.设该公司一年内共生产该品牌服装千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)
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