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在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,该点的坐标是
 
分析:联立直线与抛物线方程,利用判别式等于0,求出直线方程,解出所求点的坐标.
解答:解法一:设与y=4x-5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切,则y=4x+b代入y=4x2,得4x2-4x-b=0.①
△=16+16b=0时b=-1,代入①得x=
1
2

∴所求点为(
1
2
,1).
解法二:设该点坐标为A(x0,y0),那么有y0=4x02.设点A到直线y=4x-5的距离为d,则
d=
|4x0-y0-5|
42+1
=
1
17
|-4x02+4x0-5|=
1
17
|4x02-4x0+5|=
1
17
|4(x0-
1
2
2+1|.
当且仅当x0=
1
2
时,d有最小值,
将x0=
1
2
代入y=4x2解得y0=1.
故A点坐标为(
1
2
,1).
故答案为:(
1
2
,1).
点评:本题考查点到直线的距离,直线与抛物线的位置关系,是中档题.
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