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已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数,数列{yn}满足ynlogxna=2(a>0,a≠1),设y3=18,y6=12.
(1)求数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少?
(2)试判断是否存在自然数M,使当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出相应的M,若不存在,请说明理由;
(3)令an=logxnxn+1(n>13,n∈N),试判断数列{an}的增减性?
分析:(1)先根据等差数列的定义判定数列{yn},然后根据y3=18,y6=12可求出首项和公差,设前k项为最大,则
yk+1≤0
yk≥0
,可求出k的值,从而求出所求;
(2)讨论a与1的大小,然后解指数不等式,从而求出适合条件的M;
(3)先求出数列{an}的通项公式,然后判定an+1-an的符号,可得数列的单调性.
解答:解:(1)由已知得:yn=2logaxn设等比数列{xn}的公比为q(q≠1)
yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga
xn+1
xn
=2logaq
得{yn}为等差数列,设公差为d
∵y3=18,y6=12,∴d=-2;∴yn=y3+(n-3)d=24-2n
设前k项为最大,则
yk+1≤0
yk≥0
⇒11≤k≤12
y12=0
∴前11项和前12项和为最大,其和为132
(2)xn=a12-n,n∈N*?;若xn>1,则a12-n>1?
当a>1时,n<12,显然不成立;当0<a<1时,n>12
∴存在M=12,13,14,…,?当n>M时,xn>1
(3)an=logxnxn+1=lo
g
12-n
a
a12-(n+1)=
n-11
n-12

an+1-an=
n-10
n-11
-
n-11
n-12
=
-1
(n-11)(n-12)
<0

∴an+1<an∴n>13时数列{an}为递减数列
点评:本题主要考查了等差数列的判定,以及恒成立问题和数列单调性的判定,属于中档题.
练习册系列答案
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=2
(a>0,且a≠1),设y3=18,y6=12.
(1)数列{yn}的前多少项和最大,最大值是多少?
(2)试判断是否存在自然数M,使得n>M时,xn>1恒成立,若存在,求出最小的自然数M,若不存在,请说明理由.

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(1)数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少?

(2)试判断是否存在自然数M,使得当n>M时,xn>1恒成立,若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由;

(3)令试比较的大小.

 

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(文)已知等比数列{xn}的公比是不为1的正数,数列{yn}满足yn•logxna=2(a>0,a≠1),当y4=15,y7=9时,数列{yn}的前k项和最大,则k的值为                                           (  )
A.9B.10C.11D.12(yn=23-2n)

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