Question

12．已知i是虚数单位，z₁=x+yi（x，y∈R），且x²+y²=1，z₂=（3+4i）z₁+（3-4i）$\overline{z_1}$．
（ I） 求证：z₂∈R；
（ II）求z₂的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出z₁的共轭复数，再代入计算即可证明，
（Ⅱ）设u=6x-8y，代入x²+y²=1消去y得，根据判别式法即可求出．

解答 解：（Ⅰ）证明∵z₁=x+yi，$\overline{z}$₁=x-yi（x，y∈R），
∴z₁+$\overline{z}$₁=2x，z₁-$\overline{z}$₁=2yi．
∴z₂=（3+4i）z₁+（3-4i）₁，
=3（z₁+$\overline{{z}_{1}}$）+4i（z₁-$\overline{z}$₁）．
=6x+8yi²=（6x-8y）∈R
（Ⅱ）解∵x²+y²=1，
设u=6x-8y，代入x²+y²=1消去y得
64x²+（6x-u）²=64．
∴100x²-12ux+u²-64=0．
∵x∈R，∴△≥0．
∴144u²-4×100（u²-64）≥0．
∴u²-100≤0．
∴-10≤u≤10．
∴z₂的最大值是10，最小值是-10

点评 本题考查了复数的运算法则和利用判别式法求函数的最值，属于中档题．