Question

12．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的，且这个几何体的体积为$\frac{40}{3}$．
（1）求几何体ABCD-A₁C₁D₁的表面积；
（2）若点P在线段BC₁上，且A₁P⊥C₁D，求线段A₁P的长．

Answer 1

分析 （1）根据长方体的体积减去切除的三棱锥的体积=几何体的体积，求出A₁A的长度，求解各平面的面积可得几何体ABCD-A₁C₁D₁的表面积；
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交C₁C于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A₁P⊥C₁D，证明C₁D⊥PA₁，利用△C₁D₁Q∽△CC₁D，求C₁Q=1，证明四边形PQ₁A₁为直角梯形，运用勾股定理求线段A₁P的长．

解答 解：（1）根据长方体的体积减去切除的三棱锥的体积=几何体的体积，即${V}_{ABCD-{{A}_{1}B}_{1}{C}_{1}}={V}_{A{C}_{1}}-{V}_{B-A{B}_{1}{C}_{1}}$=$2×2×A{A}_{1}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×A{A}_{1}=\frac{10}{3}A{A}_{1}$=$\frac{40}{3}$，
∴AA₁=4
∴A₁B=C₁B=2$\sqrt{5}$，A₁C₁=$2\sqrt{2}$，设A₁C₁D₁的中点H，
则BH=$3\sqrt{2}$．
∴${S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$
几何体ABCD-A₁C₁D₁的表面积S=3×8+4+2+6=36．
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交C₁C于Q，
过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A₁P⊥C₁D．
∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D₁?平面CC₁D₁
∴A₁D₁⊥C₁D，
而QP∥CB，A₁D₁∥CB，∴QP∥A₁D₁
又∵A₁D₁∩QD₁
∴C₁D⊥平面PQC₁A₁
∵C₁D?平面PQC₁A₁且PA₁?平面PQC₁A₁，
∴C₁D⊥PA₁
∵△C₁D₁Q∽△CC₁D，
∴$\frac{{C}_{1}Q}{CD}=\frac{{{D}_{1}C}_{1}}{{C}_{1}C}$，
∴C₁Q=1，
又∵QP∥CB，
∴QP=$\frac{1}{4}$CB=$\frac{1}{2}$
∴四边形PQD₁A₁为直角梯形，且高D₁Q=$\sqrt{5}$．
∴PA₁=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+5}=\frac{\sqrt{29}}{2}$．
故得点P在线段BC₁上，且A₁P⊥C₁D，线段A₁P的长为$\frac{\sqrt{29}}{2}$．

点评 本题考查了立体几何的体积计算，考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力，是中档题．