Question

13．对于函数f（x）（x∈R），假如实数x₀满足f（x₀）=x₀为f（x）的“不动点”；若实数x₀满足f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”，记函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x-8，求集合A和B；
（2）判断集合A和B的关系，并说明理由；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅

Answer 1

分析 （1）利用A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，即可求集合A和B；
（2）利用子集的定义判断集合A和B的关系；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，△=（b-1）²-4a＜0，分类讨论，证明B=∅．

解答 解：（1）由题意，3x-8=x，∴x=4，∴A={4}；
3（3x-8）-8=x，∴x=4，∴B={4}；
（2）A⊆B，理由如下：
A=∅，A⊆B成立；
A≠∅，设t为A中的任意一个元素，则f（t）=t，∴f[f（t）]=f（t）=t，∴t∈B，∴A⊆B，
综上，A⊆B；
（3）∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax²+bx+c=x无解
即△=（b-1）²-4a＜0
①当a＞0时，二次函数y=f（x）-x，即y=ax²+（b-1）x+c的图象在x轴的上方
∴?x∈R，f（x）-x＞0恒成立
∴?x∈R，f（x）＞x恒成立
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②当a＜0时，同理可证B=∅；
综上，对于函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），当A=∅时，B=∅．

点评 本题考查子集关系，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．