Question

有一个数据运算装置，如下图所示，输入数据x通过这个运算装置就输出一个数据y，输入一组数据，则会输出另一组数据．要使输入的数据介于20～100之间（含20和100，且一个都不能少），输出的另一组数据后满足下列要求：①新数据在60～100之间（含60和100，也一个都不能少）；②新数据的大小关系与原数据的大小关系相反，即原数据较大的对应新数据较小．
（1）若该装置的运算规则是一次函数，求出这种关系；
（2）若该装置的运算规则是y=a（x-h）²（a＞0），求满足上述条件的a，h应满足的关系式；
（3）请你设计一种满足上述条件新的运算规则（非一次、二次函数）．

Answer 1

分析：（1）假设该运算装置的运算规则是一次函数，设一次函数的解析式是y=kx+b （k≠0），根据题意，则

100=20k+b 60=100k+b

得到函数的解析式．
（2）要使规则y=a（x-h）²²满足以上条件，则必须有函数y=a（x-h）²²的定义域为[20，100]，值域为[60，100]且该函数在[20，100]上单调递减，写出a，h应满足条件，得到两者的关系式．
（3）假设新的运算法则是指数型的符合函数，根据条件中所给的函数的性质，利用待定系数法来解题，得到函数的系数，写出函数的解析式．

解答：解：（1）若该运算装置的运算规则是一次函数，
设y=kx+b （k≠0）
根据题意，则

100=20k+b 60=100k+b

   解得

k=- 1 2 b=110

∴y=-

1

2

x+110-------------------（4分）
（2）要使规则y=a（x-h）²²满足以上条件，
则必须有函数y=a（x-h）²²的定义域为[20，100]，
值域为[60，100]
且该函数在[20，100]上单调递减：故a，h应满足条件100=a（20-h）²
60=a（100-h）²
h≥100
a＞0-------------------（8分）
∴a=-

1

4(60-h)

(h≥100)--------（10分）
（3）若设新的运算规则是y=a(

1

2

)x+b (a＞0)--------（12分）
则

100=a( 1 2 )20+b 60=a( 1 2 )100+b

 解得

a= 40 ( 1 2 )20-( 1 2 )100 b= 60( 1 2 )2-100( 1 2 )100 ( 1 2 )20-( 1 2 )100

-----（14分）
故新的运算规则是y=

40

( 1 2 )20-( 1 2 )100

 (

1

2

)2+

60( 1 2 )20-100( 1 2 )100

( 1 2 )20-( 1 2 )100

-----（16分）

点评：本题考查指数型函数的解析式的求法，二次函数的解析式的求法和一次函数的解析式的求法，本题解题的关键是根据所给的顺序结构，看出题目的意义，即看出题目的实质，本题是一个中档题目．