Question

15．函数f（x）=x|2a-x|+2x，若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围[-1，1]．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（2a-2）x，x≥2a}\\{-{x}^{2}+（2a+2）x，x＜2a}\end{array}\right.$，从而利用分段函数及二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{2a≤a+1}\\{a-1≤2a}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：f（x）=x|2a-x|+2x
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（2a-2）x，x≥2a}\\{-{x}^{2}+（2a+2）x，x＜2a}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可知，
$\left\{\begin{array}{l}{2a≤a+1}\\{a-1≤2a}\end{array}\right.$，
解得，-1≤a≤1；
故答案为：[-1，1]．

点评 本题考查了分段函数的性质的应用及二次函数的性质的应用．