Question

对于实数x，符号[x]不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-3.5]=-4，定义函数f（x）=x-[x]，则下列结论正确的是（　　）

• A、方程f（x）=k（k∈R）有且仅有一个解
• B、函数f（x）的最大值为1
• C、函数f（x）是增函数
• D、函数f（x）的最小值为0

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：先充分理解[x]的含义，并对x分类讨论求出函数对应解析式，再画出函数的图象，由图象求出函数的最值、单调性以及周期性，结合答案项进行判断即可．

解答： 解：由题意可知：当x∈[0，1）时，f（x）=x-[x]=x；
当x∈[1，2）时，f（x）=x-[x]=x-1…，
画出函数的图象如下：

由图得：f（x）=x-[x]∈[0，1），
所以函数f（x）的最小值为0，无最大值，B不对、D正确；
函数图象每隔一个单位重复一次，所以函数是以1为周期的函数，A不对；
函数在定义域有增有减，C不正确．
故选：D．

点评：本题以新定义的形式考查分段函数的性质：值域、单调性、周期性，利用新定义画出函数的图象是解题的关键，考查数形结合思想和分类讨论思想．