Question

甲、乙两名射手各进行一次射击，射中环数ξ₁，ξ₂的分布列分别为：

ξ1	8	9	10
P	0.3	0.5	a

ξ2	8	9	10
P	0.2	0.3	b

（I）确定a、b的值，并求两人各进行一次射击，都射中10环的概率；
（II）两各射手各射击一次为一轮射击，如果在某一轮射击中两人都射中10环，则射击结束，否则继续射击，但最多不超过4轮，求结束时射击轮次数η的分布列及期望，并求结束时射击轮次超过2次的概率．

Answer 1

解：（I）有分布列得：0.5+0.3+a=1，解出a=0.2，
又由于0.2+0.3+b=1，解出b=0.5，
设“两人在一次射击中都射中10环”为事件A，
P（A）=P（ξ₁=10）•P（ξ₂=10）=0.2×0.5=0.1；
（II）由于η表示两各射手各射击一次为一轮射击，如果在某一轮射击中两人都射中10环，则射击结束，否则继续射击，但最多不超过4轮，结束时射击轮次数，则由题意可知：η的可能值为：1，2，3，4，
P（η=1）=0.1；
P（η=2）=0.1×0.9=0.09；
P（η=3）=0.1×=0.081；
P（η=4）=0.1×0.9³+0.9⁴=0.729；
所以η的分布列为：

所以随机变量η的期望Eη=1×0.1+2×0.09+3×0.081+4×0.729=3.439，
设“结束射击时超过2轮次”为事件B，
则P（B）=0.081+0.729=0.81，
答：结束时射击轮次超过2次的概率为0.81．
分析：（I）由题意及分布列的性质可知0.5+0.3+a=1 解出a=0.2，又由于0.2+0.3+b=1 解出b=0.5，利用独立事件同时发生的概率公式即可；
（2）由于η表示两各射手各射击一次为一轮射击，如果在某一轮射击中两人都射中10环，则射击结束，否则继续射击，但最多不超过4轮，结束时射击轮次数，则由题意可知：η的可能值为：1，2，3，4，利用随机变量的定义及分布列定义可得η的分布列，并利用分布列及互斥事件的概率公式求出其期望和结束时射击轮次超过2次的概率．
点评：此题考查了学生对于分布列的性质的理解及应用，还考查了对于随机变量的准确理解及每一个值下的准确使用各个随机事件的概率公式，还考查了随机变量的期望，容易在分清事件类型上出错，若出错还是事件概念混淆导致，多注意理解与区分即可．