Question

已知菱形ABCD四个顶点对应的复数分别为4，2i，-4，-2i．
（1）复数z=x+yi（x，y∈R）满足|z|≤6，求复数z对应的点Z落在菱形ABCD内部的概率；
（2）复数z=x+yi（x，y∈Z）满足|x|≤4，|y|≤2．求复数z对应的点Z落在菱形ABCD外部的概率．

Answer 1

分析：（1）由于满足|z|≤6所有的点Z的集合是一个圆面，菱形ABCD在其内部，分别求出其面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出．
（2）先求出满足条件的所有整点的个数，再求出在菱形外部的整点的个数，利用古典概型的概率计算公式就看得出．

解答：解：（1）满足|z|≤6所有的点Z的集合是一个圆面，其面积是36π．
菱形ABCD在其内部，且面积为16．                           
故复数z对应的点Z落在菱形内的概率为P=

16

36π

=

4

9π

．
（2）当复数z的实部与虚部x，y都是整数，且|x|≤4，|y|≤2时，
对应点Z共有9×5=45个．                                                                      
当x＞0，y＞0时，共有6个点在菱形ABCD外．由对称性知，共有4×6=24个点在菱形外，
故复数z对应的点Z落在菱形外的概率是P=

24

45

=

8

15

．

点评：熟练掌握几何概型的概率、古典概型的概率计算公式、及正确得出基本事件的总数和要求事件所包含基本事件的个数是解题的关键．