Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），a₁=1．
（1）证明：数列{

Sn

}是等差数列．并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用平方差公式对题设中的等式化简整理求得

sn?

 -

sn-1?

=1，进而根据等差数列的定义判断出数列{

sn?

}是一个首项为1公差为1的等差数列．进而根据首项和公差求得数列{

sn?

}的通项公式，进而根据a_n=S_n-S_n-1求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，进而根据裂项法求得前n项的和，求得T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)，进而利用1-

1

2n+1

＜1推断出Tn＜

1

2

，原式得证．

解答：解：（1）∵Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，（n≥2）
又b_n≥o，

sn

 ＞0，∴

sn?

 -

sn-1?

=1，
又

S1

=

a1

=1，所以数列{

sn?

}是一个首项为1公差为1的等差数列．

sn?

=1+(n-1)×1=n，s_n=n²．
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；a₁=1适合上式，∴a_n=2n-1（n∈N）．
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
T_n=b₁+b₂++b_n

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)；
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
∵n∈N，∴

1

2n+1

＞0，1-

1

2n+1

＜1，

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，即Tn＜

1

2

．

点评：本题主要考查了等差关系的确定和数列的求和，数列和不等式的综合运用．作为高考的必考内容，数列题常与不等式，函数等问题综合考查，综合性较强．