Question

如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF．
（Ⅲ）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，而AF⊥CB，AF⊥BF，BF∩BC=B，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM/与平面DAF内一直线平行，设DF的中点为N，OM∥AN又AN?平面DAF，OM?平面DAF，满足定理条件．
（III）先计算底面三角形BEF的面积，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高为

3

2

，底EF为1，再计算三棱锥C-BEF的高，即为CB，最后由三棱锥体积计算公式计算即可

解答：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF、BC?平面CBF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）解：设DF的中点为N，则MN

∥

.

1

2

CD，又AO

∥

.

1

2

CD，则MN

∥

.

AO，
∴MNAO为平行四边形
∴OM∥AN
又AN?平面DAF，OM?平面DAF
∴OM∥平面DAF
（III）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH=60°，
∴EH=

3

2

，EF=AB-2HB=1，
故S△BEF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∵CB⊥平面ABEF
∴三棱锥C-BEF的高为CB=1
∴VC-BEF=

1

3

×S△BEF×BC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．