Question

1．已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A、B两种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用a_n，b_n分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a₁=2000．
（1）请用a_n、b_n表示a_n+1与b_n+1；
（2）证明：数列{a_n-2000}是常数列．

Answer 1

分析 （1）凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜，即可求得a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，b_n+1=$\frac{1}{5}$a_n+$\frac{3}{5}$；
（2）由a_n+b_n=3000，将b_n=3000-a_n，代入a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，整理即可得到a_n+1-2000=$\frac{2}{5}$（a_n-2000），由a₁-2000=0，故数列{a_n-2000}是常数列．

解答 解：（1）由题意知：a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，b_n+1=$\frac{1}{5}$a_n+$\frac{3}{5}$b_n---------（6分）
（2）证明：∵a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$b_n，且a_n+b_n=3000，
∴a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{2}{5}$（3000-a_n），
∴a_n+1=$\frac{2}{5}$a_n+1200-----（8分）
∴a_n+1-2000=$\frac{2}{5}$（a_n-2000）---------（10分）
又∵a₁-2000=0，
∴数列{a_n-2000}是常数列．-------（12分）

点评 本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，关键是对题意的理解，是中档题．