Question

若不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式

2a+b

x

+c＞b|x|的解集为

 

．

Answer 1

分析：根据不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，得到-1和2为ax²+bx+c=0的两个根，且得到a小于0，根据韦达定理表示出两根之和和两根之积，用a表示出b和c，把表示出的b和c代入所求的不等式中，根据a小于0，化简后得到关于x的不等式，然后分x大于0和x小于0两种情况考虑，当x小于0时，根据负数的绝对值等于它的相反数化简不等式中的绝对值，在不等式两边都乘以负数x，得到一个一元二次不等式，求出不等式的解集与x小于0求出交集即为原不等式的解集；当x大于0时，根据正数的绝对值等于本身化简绝对值，在不等式两边都乘以正数x，得到一个一元二次不等式，化简后得到此不等式无解，综上，得到原不等式的解集．

解答：解：由不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，
得到ax²+bx+c=0的两解为-1和2，且a＜0，
根据韦达定理得：-

b

a

=-1+2=1，

c

a

=-2，即b=-a，c=-2a，
则不等式

2a+b

x

+c＞b|x|可化为：

a

x

-2a＞-a|x|，即

1

x

-2+|x|＜0，
当x＜0时，不等式化为：

1

x

-2-x＜0，
去分母得：x²+2x-1＜0，即（x+1-

2

）（x+1+

2

）＜0，
解得：-1-

2

＜x＜-1+

2

，
则原不等式的解集为：-1-

2

＜x＜0；
当x＞0时，不等式化为：

1

x

-2+x＜0，
去分母得：x²-2x+1＜0，即（x-1）²＜0，无解，
综上，原不等式的解集为{x|-1-

2

＜x＜0}．
故答案为：{x|-1-

2

＜x＜0}

点评：此题考查学生灵活运用韦达定理化简求值，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．