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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M， $数学公式$ ．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为 $数学公式$ 的直线与椭圆交于A、B两点，若 $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．（3分）
则有 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）设直线AB的方程为 $\text{[math]}$ ，直线AB与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．
由 $\text{[math]}$ 消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）
故 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
且y₁•y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．
∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）
即 $\text{[math]}$ ，∴c²=1．则a²=4，b²=2．
椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）先求出左焦点F、左准线与x轴的交点M的坐标，由 $\text{[math]}$ ，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．
（2）点斜式设出直线AB的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，由 $\text{[math]}$ 解出椭圆方程中的待定系数，从而求出椭圆的方程．
点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．

练习册系列答案

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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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)，N(-2，

)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求

•

+2|

|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x²+y²的最大值和最小值．

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已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3

，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是