Question

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且

OP

⊥

OQ

，记点P的轨迹为C₁，
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，且

OB

=

PA

(

OB

≠0)，试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论；
（3）已知圆C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交点处的切线相互垂直，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ 得到∴

OP

•

OQ

=0，从而得解．
（2）先求直线PB的方程，再代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，利用△=4x₀²-8y₀=0，可得直线PB与曲线C₁相切．
（3）分别求出在C₁上N点处切线的斜率为，C₂上过N点的半径的斜率，利用C₁、C₂在交点处的切线相互垂直，可建立方程，再利用点在圆上可解，

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），
∵

OP

⊥

OQ

∴

OP

•

OQ

=0…（2分）
∴x²-2y=0，
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x²=2y（x≠0）．
（2）设点P的坐标（x₀，y₀），∴A（x₀，0）∵

OB

=

PA

∴

OB

=(0，-y0)
∵

OB

≠0∴直线PB的斜率k=

2y0

x0

…（5分）
∵x₀²=2y₀∴k=x₀∴直线PB的方程为y=x₀x-y₀…（6分）
代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，∵△=4x₀²-8y₀=0
∴直线PB与曲线C₁相切．…（7分）
（3）不妨设C₁、C₂的一个交点为N（x₁，y₁），C₁的方程为y=

1

2

x2
则在C₁上N点处切线的斜率为y′=x₁．C₂上过N点的半径的斜率为k=

y1-a

x1

x1=

y1-a

x1

，
又y1=

1

2

x12，得y₁=-a，x₁²=-2a…（10分）
∵N（x₁，y₁）在圆C₂上，∴-2a+4a²=2，∴a=-

1

2

或a=1
∵y₁＞0∴a＜0，∴a=-

1

2

…（12分）

点评：本题的考点是曲线与方程，主要考查直接法求轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，关键是利用直线与方程组成方程组，从而利用方程的思想研究．