Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：
（Ⅰ）D₁E与平面BC₁D所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D-BC₁-C的大小；
（Ⅲ）异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 以A点为坐标原点，以AB，AD，AA₁方向为X、Y、Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线D1E的方向向量及平面BC₁D的法向量，代入向量夹角公式即可求出直线BD与平面A₁BC₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）先求出面BC₁D、面BC₁C 的一个法向量，根据向量所成的角得到结果．
（Ⅲ） 异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离转化成B₁D₁到面BC₁D，的距离，即为 B₁到面BC₁D，的距离，再利用向量法求出距离．

解答：解：（Ⅰ）以A点为坐标原点，以AB，AD，AA₁方向为X、Y、Z轴正方向建立空间坐标系，则E（1，0，0）D1（0，2，2）

ED1

=（-1.2，2）
B （2，0，0）D（0，2，0）C1（2，2，2）

BC1

=（0，2，2）

BD

=（-2，2，0）设面BC₁D的一个法向量为

n1

=（x，y，z）则

n1 • BC1 =0  n1 • BD =0

即

2y+2z=0 -2x+2y=0

取x=1得为

n1

=（1，1，-1），

ED1

与

n1

所成角的余弦值等于

n1 • ED1

| n1| | ED1 |

=

-1

3× 3

=-

3

9

，∴D₁E与平面BC₁D所成角θ的正弦值为

3

9

 
D₁E与平面BC₁D所成角的大小为arcsin

3

9

；
 （Ⅱ）易知面BC₁C的一个法向量

n2

=（1，0，0），两法向量夹角余弦值为

n1 • n2

| n2 | ×  |n1 |

=

1

3

=

3

3

，又二面角D-BC₁-C是锐二面角，∴大小为arccos

3

3

（Ⅲ）∵BD∥B₁D₁，BD?面BC₁D，∴B₁D₁∥面BC₁D，，异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离等于B₁D₁到面BC₁D，的距离，即为 B₁到面BC₁D，的距离，

BB1

=（0，0，2），

BB1

在

n1

方向上的投影为

n1 • BB1

| n1 |

=

2

3

=

2 3

3

，∴异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离

2 3

3

点评：本小题主要考查空间线面角、二面角的度量、异面直线之间的距离．考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．