Question

已知函数y=

10x-1

10x+1

．
（1）写出函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试证明函数在定义域内是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式，我们易求出使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，即函数的定义域；
（2）判断f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义，即可判断函数的奇偶性；
（3）利用作差法，构造出f（x₁）-f（x₂）的表达式，再利用指数函数的值域、单调性等易判断其符号，进而判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，结合函数单调性的定义即可得到函数的单调性．

解答：解：（1）∵10^x+1＞0恒成立
∴函数的定义域R
（2）∵f（-x）=

10-x-1

10-x+1

=

1-10x

1+10x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数
（3）设任意两个变量x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

10x1-1

10x1+1

-

10x2-1

10x2+1

=

2(10x1-10x2)

(10x1+1)•(10x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定义域内是增函数．

点评：本题考查的知识点是函数的定义域的求法，函数奇偶性的判断与函数单调性的判断及指数函数的值域和单调性，熟练掌握函数的各种性质及判断方法是解答本题的关键．