Question

已知函数f(x)=lg(

2a

1+x

-1)（其中a＞0）．求证：
（1）用反证法证明函数f（x）不能为偶函数；
（2）函数f（x）为奇函数的充要条件是a=1．

Answer 1

分析：（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），代入利用对数的性质，可得矛盾，即可得证；
（2）分充分性、必要性进行论证，即可得到结论．

解答：证明：（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
∴lg(

2a

1-x

-1)=lg(

2a

1+x

-1)，即

2a

1-x

-1=

2a

1+x

-1，化简得：

4ax

1-x2

=0，
∴a=0，与条件a＞0矛盾，
∴函数f（x）不能为偶函数．…（7分）
（2）充分性：由a=1，函数f(x)=lg(

2

1+x

-1)=lg

1-x

1+x

，
∵

1-x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg

1-x

1+x

+lg

1+x

1-x

=lg1=0，
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数．…（10分）
必要性：由函数f（x）为奇函数，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg(

2a-1-x

1+x

)+lg(

2a-1+x

1-x

)=0，化简得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴当函数f（x）为奇函数时，a=1．…（14分）
（注：必要性的证明也可由定义域的对称性得到a=1）

点评：本题考查反证法，考查充要性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．