Question

【题目】四棱锥中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则=_______．

Answer 1

【答案】

【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．

由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），

∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）. =（2，0，0）．

设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）

则

即，

令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．

∴．

∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，

∴cos＜＞=即解得b=．

∴S△ADQ=．

S梯形ABCD﹣S△ADQ=．

∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．

故答案为（3﹣4）：4．