Question

20．求下列函数的解析式：
（1）已知f（$\frac{x+1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，求f（x）；
（2）已知3f（x）+2f（-x）=x+3，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）变形可得原函数为f（1+$\frac{1}{x}$）=（1+$\frac{1}{x}$）²-（1+$\frac{1}{x}$）+1，可得f（x）=x²-x+1；
（2）由3f（x）+2f（-x）=x+3可得3f（-x）+2f（x）=-x+3，两式联立消去f（-x）可得f（x）．

解答 解：（1）f（$\frac{x+1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$可化为f（1+$\frac{1}{x}$）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
可得f（1+$\frac{1}{x}$）=（1+$\frac{1}{x}$）²-（1+$\frac{1}{x}$）+1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵3f（x）+2f（-x）=x+3，
∴3f（-x）+2f（x）=-x+3，
两式联立消去f（-x）可得f（x）=x+$\frac{3}{5}$

点评 本题考查函数解析式求解的配凑法和方程组的方法，属基础题．