Question

已知A（-2，4），B（4，2），直线l：ax-y-2=0与线段AB恒相交，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：画出图形，直线l经过定点D（0，-2），a表示直线l的斜率，当直线l与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率；
当直线l与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率．将以上求得的a的取值范围取并集．

解答：解：如图所示：直线l：ax-y-2=0 经过定点D（0，-2），
a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交与点 C，
由图形知，当直线l：ax-y-2=0与线段AB的交点在线段CB上时，
a大于或等于DB的斜率，即 a≥

2+2

4-0

=1，即 a≥1．
当直线l：ax-y-2=0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
即 a≤

4+2

-2-0

=-3，
即 a≤-3．
综上，a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞），故答案为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评：本题考查直线过定点问题，直线方程中参数a的几何意义，体现了数形结合及分类讨论的数学思想．